Matematikens ontologi och kunskapsteori: En kritisk analys av den nyfregeanska riktningen i matematikens filosofi
Den tyske matematikern och filosofen Gottlob Frege (1848-1925) försökte förklara vår kunskap om de naturliga talen genom att återföra aritmetiken på logik. Programmet visade sig emellertid vara ogenomförbart. Det huvudsakliga skälet var att den teori för klasser som Frege använde för att definiera de naturliga talen var motsägelsefull. Freges matematikfilosofi kom därför under lång tid att betraktas som hopplöst passé. På senare tid har situationen ändrat sig radikalt, främst på grund av Crispin Wrights revision av Freges program och Boolos logiska undersökningar. Den senare genomförde en rekonstruktion av Freges logik och visade att aritmetikens axiom kan bevisas i andra-ordningens logik utökad med Humes princip. Wright och Hale menar att denna princip är en analytisk sanning. De överger således Freges tanke om en reduktion av aritmetiken till logik, samtidigt som de bevarar idén att dess satser är analytiskt sanna.
Projektet syfte är att kritiskt granska detta nyfregeanska program. Det finns mycket som kan ifrågasättas. Vilken kunskapsteoretisk status har den högre-ordningens logik som förutsätts? Har alla principer och slutledningsregler i denna logik sin grund i begreppsliga samband? Eller är det snarare som kritikerna har hävdat, att nyfregeanerna givit substantiella matematiska antaganden en oskyldig logisk förklädnad? Vilken status har Humes princip och liknande s.k. abstraktionsprinciper? Projektets betydelse ligger i den klarhet som det kan bidra till att skapa kring filosofiskt centrala begrepp och frågeställningar.
Slutredovisning
BACKGROUND AND AIM OF THE PROJECT
The aim of the project is to subject the neo-Fregean logicism of Wright and Hale in the philosophy of mathematics to a critical examination. The goal of neo-Fregeanism is to explain our knowledge of arithmetic (and possibly also other branches of mathematics like analysis and set theory) by appeal to higher-order logic and abstraction principles. A Fregean abstraction principle is a principle of the form:
$F = $G iff F eq. G,
where F and G range over Fregean concepts (or properties, or classes-as-many), e.g. is an equivalence relation on concepts, and $ is a mapping from concepts to objects.
Examples of Fregean abstraction principles are:
Frege’s Basic Law (V): For all concepts, F, G,
{x: Fx} = {x: Gx} iff (if and only) (x)(F(x) iff G(x))
This principle states that two concepts F and G have the same extension iff they are true of the same objects.
Hume’s Principle (HP) (Frege): For all concepts F, G,
NxFx = NxGx iff the F’s correspond 1-1 to the G’s
Hume’s Principle says that two concepts F and G have the same cardinal number if and only if, there is a one-to-one correspondence between the objects falling under F and those falling under G.
A Fregean abstraction principle may be viewed as postulating the existence of a mapping $ from concepts to objects. In particular, (V) postulates the existence of a mapping from concepts to objects that is one-to-one. This means that there must exist at least as many objects as there are concepts. On the other hand, the strong axioms of comprehension for concepts in the underlying logic imply that there are more concepts than there are objects. Thus, we get a contradiction. Also (HP) is a strong assumption, but it does not, as far as one knows, lead to inconsistency. In the context of second-order logic with unlimited comprehension principles for concepts, (HP) implies that there are infinitely many objects, i.e., any model of Frege arithmetic has to be at least denumerably infinite. Thus, Fregean abstraction principles can be very powerful like (HP), or even inconsistent like (V).
The classical logicism of Frege combines platonism with respect to mathematical entities -- the thesis that mathematical entities are objectively existing abstract objects -- with the Logicist Thesis that substantial parts of mathematics can be reduced to logic. To be more specific, Frege thought that logic can be codified as an interpreted formal system (a “Begriffsschrift”) BS such that: (i) It can be known a priori that the axioms of BS are true and that its rules of inference are truth-preserving; (ii) the basic concepts of arithmetic are definable within BS; (iii) the Dedekind-Peano axioms of arithmetic are provable in BS via the definitions; (iv) all intuitively provable arithmetic statements are provable within BS; (v) all true arithmetic statements are provable within BS. Frege thought that if (i) is satisfied, then all the theorems of BS are also knowable of a priori. Hence, given (v) all truths of arithmetic are knowable a priori.
However, classical logicism is an untenable position. It follows from Gödel’s First Incompleteness Theorem that no consistent formal system can prove all truths of arithmetic. Moreover, in view of Gödel’s Second Incompleteness Theorem, it appears that it is impossible to know that any given formal system BS proves exactly those arithmetical statements that are intuitively provable (or knowable).
The Neo-Fregean program is obtained by replacing Frege’s Basic Principle (V) by (HP). Let Frege arithmetic be the formal second-order theory with full impredicative comprehension axioms for concepts together with (HP) as its only non-logical axiom. In Frege arithmetic one can define ‘0’, ‘successor’, and ‘natural number’ and prove Peano’s axioms for the natural numbers. The proof of this result was outlined by Wright and proved with full rigor by Boolos who gave it the name Frege’s theorem.
Wright and Hale argue that Frege’s theorem is of great philosophical importance. That is, they think that HP can be viewed as an implicit definition of the concept of a cardinal number, and therefore as an analytic truth. Given HP, we can argue for the existence of cardinal numbers: The concept of being a planet is equinumerous to the concept of being a planet. From this it follows, by HP, that: NxPlanet(x) = NxPlanet(x). But this cannot be true, if “NxPlanet(x)” is not a genuinely referring term, the neo-Fregeans argue. Hence there must be some object which is the number of planets. So, there must exist numbers. Thus, Wright and Hale claim that it is analytically true and apriori that the natural numbers exist.
RESULTS:
My conclusions concerning the Neo-Fregean program are largely negative. Here I state three objections to the program of neo-Fregean logicism.
OBJECTION 1.
Fregean neo-logicism combines a form of logicism with platonism about numbers. Using a version of Frege’s context principle one argues from the truth of arithmetic to the objective existence of numbers as definite objects. This inference however is questionable. Mathematics does not distinguish between isomorphic structures. Hence, it seems that any progression can serve as the natural numbers. Thus, reference in mathematics is inscrutable (indeterminate). One cannot argue from the truth of arithmetic to platonism with respect to natural numbers. It is questionable whether one can even argue from the truth of arithmetic to the actual existence (in a strong ontological sense) of structures satisfying the Dedekind-Peano axioms. The only thing that seems to be needed is the coherence of these axioms. The coherence of the axiom system is tantamount to the logical possibility of progressions satisfying the axioms. Since all progressions are isomorphic, a statement of arithmetic is true if and only if it is true in every logically possible progression.
OBJECTION 2.
In order for Frege’s definitions of 0, successor, and natural number to have their intended meaning, the second-order language has to be given a standard interpretation. In particular, the (monadic) second-order variables must range of ALL the concepts of objects there are. Consider, for example Frege’s and Dedekind’s impredicative definition of the property of being a natural number: Something is a natural number if and only if it is a member of every class (or plurality) F containing 0 and closed under the successor operation. Here ‘every’ really must mean every, not just every class definable by some formula in a certain language. Otherwise, it is not excluded that non-standard numbers are included among the “natural” numbers. The “quasi-combinatorial” concept an arbitrary subclass of any given domain is presupposed by the standard interpretation of second-order logic. It is doubtful whether this concept can be regarded as a logical one.
OBJECTION 3.
Consider the iterative conception of sets: the set theoretic universe is “built up from below” by transfinite iteration of the power set operation and by the formation of unions at limit stages. This type of intuitive model can give us a reason for believing that the ZF-axioms are consistent. The imposition of Fregean abstraction principles “from above” on the other hand does not provide us with intuitive picture of the universe where these principles are supposed to be true. The prima facie credibility of Fregean abstraction principles should be rather low. Hence, the method of Fregean abstraction appears to be a dangerous way of introducing abstract objects. It is much less intuitive than Dedekind’s (in the case of the natural numbers) and Zermelo’s method (in the case of sets) of “constructing” mathematical objects “from below”. The method of introducing mathematical objects be means of Fregean abstraction principles should be viewed with suspicion.
NEW RESEARCH PROBLEMS GENERATED BY THE PROJECT:
It is important to distinguish between the following two questions: (i) The interpretative question: How can we interpret the language of mathematics in order to account for mathematical objectivity and truth? (ii) The ontological question: Are mathematical entities part of the ultimate reality? I think that these two questions are largely independent of each other. My hypothesis is that it is possible to make progress with respect to the first question without presupposing any particular answer to the second one. It is a valuable insight of logicism that mathematical truth is conceptual. Arithmetical truth has its foundation in our conception of the natural number structure (Dedekind). Our conception of set theoretic truth is based on the notion of the cumulative hierarchy (Zermelo). Mathematical truth is conceptual truth that does not presuppose platonism or nominalism, or any other ontological position. Our conceptualist position should give us some clue with respect to the epistemic problem concerning the scope and limits of mathematical knowledge. The main research problem is to make such a conceptualist position precise and to answer objections.
PUBLICATIONS: Two major publications are the papers (2) and (3). (2) discusses the question whether it is possible to give a justification of our own practice of deductive inference? To give such a justification means to explain in terms of an intuitively satisfactory notion of validity why the inferences that conform to the practice coincide with the valid ones. Three ideas for defining the notion of validity are discussed and compared. In the paper (3) various foundational programs, logicism, intuitionism and formalism, are discussed and compared. With respect to logicism, Frege’s platonist approach is compared to Dedekind’s structuralist logicism.
The objections to Neo-Fregean logicism stated here have also been developed in talks given at “Filosofidagarna” 2007 in Umeå and at the 13th International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, 9-15.8, 2007, Beijing, China. The project has been presented at two seminars at SCAS during 2007.
Svensk version
Syftet med projektet är att kritiskt granska det program inom matematikens filosofi som går under benämningen nyfregeanism (”Neo-Fregeanism”) och som utvecklats och diskuterats livligt under de senaste 20-åren. Programmets främsta företrädare är filosoferna Crispin Wright och Bob Hale, verksamma vid St. Andrews-universitetet i Skottland.
Nyfregeanerna menar att Frege i det stora hela hade rätt när han hävdade att: (i) matematiska påståenden, i vilken aritmetikens satser ingår, är objektivt sanna eller falska; (ii) dessa påståenden handlar om objektivt existerande abstrakta ting: tal, funktioner och klasser; samt (iii) de aritmetiska sanningarna är analytiska, i betydelsen att de kan bevisas vara sanna utifrån allmänna logiska lagar och principer som har sin grund i de ingående termernas mening. För att få dessa teser att gå ihop, måste Frege visa att de matematiska objekten är rent logiska till sin natur, dvs. att de kan definieras inom ramen för den av Frege själv utvecklade logiken. Frege menade alltså att aritmetiken, dvs. teorin för de naturliga talen 0,1, 2,.. kan reduceras till logik, dvs. att de aritmetiska grundbegreppen kan definieras i rent logiska termer och att aritmetikens grundantaganden (Peanos axiom) kan bevisas utifrån definitioner och allmänna logiska lagar.
2. Freges logik och Russells paradox
Freges logik bestod av: (i) Axiom och härledningsregler för högre-ordningens predikatlogik, där individvariablerna antar objekt som värden medan variabler av högre ordning löper över ”omättade” entiteter: funktioner och begrepp. (ii) Impredikativa abstraktionsprinciper för funktioner och begrepp. (iii) Freges Axiom V enligt vilket varje begrepp F är associerat med ett objekt, ext(F), sådant att:
ext(F) = ext(G) omm för alla x: Fx omm Gx.
ext(F) kallas F’s extension och kan förstås som klassen av alla objekt som faller under F.
(i)-(iii) medför tillsammans att Freges system är motsägelsefullt (Russells paradox).
3. Freges teorem
I Grundgesetze (1893) definierar Frege det kardinaltal, NxFx, som är associerat med ett begrepp F som klassen av alla klasser som är liktaliga med (dvs. kan en-entydigt tillordnas) F’s extension. Utifrån denna definition bevisar han den s.k. Humes princip:
(HP) NxFx = NxGx omm F 1-1 G,
där F 1-1 G betyder att det finns en en-entydig tillordning mellan de objekt som faller under respektive F och G. HP säger alltså att två begrepp har samma kardinaltal omm de är liktaliga.
När Frege väl har bevisat HP från axiom V, utvecklar han teorin ändliga kardinaltal (naturliga tal) enbart på basis av HP, och använder sig inte vidare av axiom V. Att man kan lägga HP till grund för aritmetiken finns redan antytt i Freges Grundlagen och har understrukits av Crispin Wright. Låt oss med Fregearitmetik mena den andra-ordningens teori som erhålls ur Freges system genom att man tar ’kardinalitet’ i stället för ’extension’ som ett primitivt begrepp och ersätter axiom V med HP. I Fregearitmetiken kan vi definiera 0, efterföljare, och naturligt tal, samt bevisa Peanos axiom för de naturliga talen. Detta resultat har visats på ett rigoröst sätt av Boolos som gett det namnet Freges teorem.
4. Fregeska abstraktionsprinciper
Axiom V och HP är exempel på (Fregeska) abstraktionsprinciper, dvs. principer av formen:
$F = $G omm F eq. G,
där eq. är en ekvivalensrelation mellan begrepp och $F och $G är objekt som representerar ”ekvivalensklasser” av begrepp m.a.p. relationen eq. En Fregesk abstraktionsprincip kan sägas postulera existensen av en avbildning $ från begrepp till objekt. Det intuitiva felet med axiom V kan sägas vara att det hävdar existensen av en en-entydig avbildning från begrepp till objekt: det skulle alltså finnas minst lika många objekt som det finns begrepp. Samtidigt leder systemets starka existensantaganden till att det måste finnas fler begrepp än det finns objekt. Abstraktionsprinciper kan alltså vara utomordentligt kraftfulla, som HP, eller alltför kraftfulla, som Freges axiom V.
Wright och Hale menar att Freges teorem har stor filosofisk betydelse. De tänker sig nämligen att HP kan uppfattas som en implicit definition av begreppet kardinaltal, och därmed som analytiskt sann. Utifrån HP kan vi bevisa existensen av kardinaltal: Begreppet Planet kan en-entydigt korreleras med begreppet Planet (logisk sanning). Därav följer, medelst HP, att: NxPlanet(x) = NxPlanet(x). Men detta kan inte vara sant om inte ’NxPlanet(x)’ är en genuint refererande singulär term. Det måste alltså finnas tal. I likhet med Frege menar alltså Wright och Hale att det är analytiskt sant att det finns tal.
5. Resultat
Mina slutsatser beträffande det nyfregeanska programmet är i det stora hela negativa. Jag kommer här att nämna tre invändningar som jag vill rikta mot programmet.
INVÄNDNING 1
Nyfreganismen kombinerar en form av logicism med platonism med avseende på tal. Man sluter sig från matematiska utsagors sanning till att det måste finnas objektivt existerande och välbestämda objekt (tal) som gör dessa utsagor sanna. Slutledningen ifråga är emellertid tvivelaktig. Matematiska påståenden kan inte skilja mellan isomorfa strukturer. Det förefaller således som om varje progression kan representera de naturliga talen. Matematiska termers referens kan därför förstås som obestämd: siffrorna ’0’, ’1’, ’2’, kan förstås som nam på elementen i vilken progression som helst. Men kan man ändå inte sluta sig från aritmetikens sanning till den faktiska existensen (i en stark ontologisk mening) av matematiska strukturer som satisfierar Peanos axiom? Även denna slutledning är tveksam. Det enda som krävs för att vi skall kunna tala om aritmetisk sanning är att Peanos axiom utgör ett koherent system, dvs. att det är logiskt möjligt att det finns strukturer (progressioner) i vilka axiomen är sanna. Eftersom alla möjliga progressioner är isomorfa, gäller att en aritmetisk utsaga är sann omm den är sann i varje logiskt möjlig progression. Det enda som krävs för att vi skall kunna tala om matematiks sanning är således att progressioner är möjliga, inte att de faktiskt existerar.
INVÄNDNING 2
För att Freges definitioner av 0, efterföljare, och naturligt tal skall ha sin avsedda innebörd, måste andra-ordningens språk ges en standardtolkning. Speciellt måste (ett-ställiga) andra-ordningens variabler variera över ALLA begrepp (egenskaper, klasser) hos individer. Betrakta t.ex. Freges impredikativa definition av egenskapen att vara ett naturligt tal: Något är ett naturligt tal omm det är ett element i varje klass F som innehåller 0 och som är sluten under efterföljaroperationen. Här måste ’alla’ verkligen betyda ALLA, inte enbart alla klasser som är definierbara medelst formler in något givet språk. I annat fall är det inte uteslutet att icke-standard tal dyker upp bland det som skulle vara de ”naturliga” talen. Det ”kvasikombinatoriska” begreppet att vara en godtycklig delklass av en given domän förutsätts i standardtolkningen av andra-ordningens logik. Det är emellertid tveksamt om detta är ett logiskt snarare än ett matematiskt begrepp.
INVÄNDNING 3
Vi övertygar oss om att olika axiomsystem är logiskt koherenta genom att föreställa oss intuitiva modeller, t.ex. en godtycklig progression när det gäller aritmetiken, eller den kumulativa hierarkin när det gäller ZF mängdteori. En sådan strukturer är ”uppbyggd nerifrån” medelst en rekursiv process och ger oss en åskådlig bild av ett tänkt matematiskt universum. Freges metod att implicit definiera matematiska objekt med hjälp av abstraktionsprinciper ger oss däremot ingen föreställning av det tänkta universumets uppbyggnad. Mycket riktigt visade sig Freges egen abstraktionsprincip (V) vara inkonsistent. Med tanke på detta har Freges metod att introducera matematiska entiteter med hjälp av abstraktion låg prima facie trovärdighet.
6. Nya forskningsproblem
Man bör skilja mellan två olika problemställningar som sällan hålls isär: (i) Tolkningsproblemet: Hur kan vi tolka matematikens språk på ett sätt som förklarar matematiska utsagors sanning och objektivitet? (ii) Den ontologiska frågan: Är matematiska objekt verkliga? Det är min hypotes att den senare frågan är utomordentligt svår och att det bör vara möjligt att göra framsteg beträffande tolkningsfrågan utan att förutsätta ett svar på den ontologiska frågan. Vidare förefaller det som om logicismen innehåller en viktig insikt, nämligen att matematisk sanning är av begreppslig natur. Sanning i aritmetiken har sin grund i vårt begrepp om den naturliga talföljden (Dedekind). Mängdteoretisk sanning baserar sig på vårt (mer eller mindre bestämda) begrepp om den kumulativa hierarkin (Zermelo). Tanken att matematisk sanning är begreppslig är neutral i förhållande till de ontologiska positionerna platonism och nominalism. De bör också vara till hjälp när vi vill förklara hur matematisk kunskap är möjlig. Det huvudsakliga forskningsproblemet blir nu att försöka precisera en sådan konceptualistisk position och att bemöta invändningar.
7. Publikationer
Uppsatsen (2) tar upp frågan hur vi kan rättfärdiga vår egen deduktiva praktik. Vi tänker oss här att ett sådant rättfärdigande består i att ge en intuitivt acceptabel analys av begreppet giltig slutledning samt att (i bästa fall) visa att vår egen deduktiva praktik kan förklaras i termer av detta giltighetsbegrepp. I uppsatsen diskuteras tre olika sätt att definiera logisk giltighet. Uppsatsen (3) diskuterar de tre olika klasiska programmen i matematisk grundvalsforskning, logicism, intuitionism och formalism. Beträffande logicismen jämförs Freges platonistiska ansats med Dedekinds form av strukturalism.
De invändningar mot nyfregeanismen som formulerats ovan har också diskuterats i föredrag hållna vid Filosofidagarna i Umeå 2007 och vid 13th International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, 9-15.8, 2007, Beijing, China. Projektet har även presenterats vid två seminarier vid SCAS 2007.
Beträffande den ekonomiska redovisningen hänför sig 520 kr i ”övriga kostnader” till inköp vid databutiken Umdac i Umeå.